Os dois tem um significado muito parecido: brigar/lutar/discutir. A diferença está no uso de cada um. O verbo “to argue” é usado para discutir (oralmente), mas note que não precisa necessariamente ser uma discussão ofensiva. Já o verbo “to fight” é usado para brigar/lutar num sentido mais físico; mas pode também ser usado para lutas…

As duas palavras tem a mesma tradução em português, mas sentidos diferentes. Birthday é o aniversário de nascimento (birth=nascimento / day=dia); anniversay (aniversário) é usado para as comemorações diversas: aniversários de casamento, de lançamento, de fundação…